ROBINSON (J.)

ROBINSON (J.)

Julia ROBINSON 1919-1985

Née le 8 décembre 1919 à Saint. Louis, dans le Missouri, Julia Robinson fut une logicienne éminente et la mathématicienne américaine la plus connue du XX^e siècle. Épouse d’un mathématicien de grand talent, Raphael M. Robinson, professeur à l’université de Californie à Berkeley, elle vit sa carrière académique contrariée par une réglementation qui interdisait à ladite université de recruter comme professeurs deux époux; elle ne fut nommée professeur à Berkeley qu’en 1976. Championne de toutes les causes libérales, elle accepta avec un certain plaisir les honneurs que, à l’apogée de la vague féministe, la communauté mathématique américaine lui prodigua: elle fut la première femme à entrer à la National Academy of Sciences (en 1976) et la première femme à présider (en 1983 et en 1984) la Société américaine de mathématiques.

Les travaux mathématiques de Julia Robinson sont marqués par un talent combinatoire qui lui permit de faire quelques incursions en dehors de la logique (voir son article «An iterative method of solving a game», Annals of Mathematics , 1951, bien connu des spécialistes de la théorie des jeux) et par un goût authentique pour la théorie des nombres et la théorie des fonctions récursives. Dans sa thèse de doctorat accomplie sous la direction de Tarski, mais où l’influence de Raphael M. Robinson semble avoir été importante, et publiée dans le Journal of Symbolic Logic en 1949, elle donna une formule de premier ordre définissant les entiers parmi les rationnels, d’où elle déduisit immédiatement que la théorie du corps des rationnels est indécidable et , par extension, que la théorie des corps est aussi indécidable. Il s’agissait là des premiers résultats d’indécidabilité relatifs à des théories de corps qui contrastaient fortement avec les seuls résultats connus en ce domaine à l’époque, à savoir la décidabilité de la théorie des corps algébriquement clos et de la théorie des corps réel-clos établie par Alfred Tarski; il s’agissait également là des premiers résultats logiques nécessitant des connaissances non rudimentaires en théorie des nombres. Elle revint au sujet en 1959 («The Undecidability of algebraic rings and fields», Proceedings of the American Mathematical Society ) en montrant que la théorie de toute extension algébrique de degré fini du corps des rationnels est indécidable et en 1963 dans un article de synthèse («The Decision Problem for fields», Symposium de théorie des modèles , Berkeley) qui contient maintes remarques précieuses. Le sujet est toujours vivant, comme des travaux de Cherlin et Denef l’ont montré, et peut-être étroitement lié au problème de la décidabilité pour les équations diophantiennes homogènes .

Le problème de la décidabilité pour les équations diophantiennes tout court, le célèbre dixième problème de Hilbert, fut au cœur des préoccupations de Julia Robinson à partir de la fin des années cinquante. En collaboration avec Martin Davis et Hilary Putnam, qui avaient initialement établi le résultat en utilisant l’hypothèse plausible mais toujours non démontrée selon laquelle il y a des progressions arithmétiques arbitrairement longues contenant seulement des nombres premiers, elle établit que la variante de ce problème où l’on autorise l’usage des exponentielles est indécidable (Annals of Mathematics , 1961). Ce travail joua un grand rôle dans la solution par Matijasevi face="EU Caron" カ du problème initial. Matijasevi face="EU Caron" カ établit que le dixième problème de Hilbert est indécidable en montrant un résultat spectaculaire conjecturé par Julia Robinson: un ensemble A d’entiers est récursivement énumérable si et seulement si il existe un polynôme P (x ⁰, x ¹, ..., xⁿ ) tel que: a 捻 A 兩 P(a , x ¹, ..., xⁿ ) a une racine.

En collaboration avec Matijasevi face="EU Caron" カ («Reduction of an arbitrary diophantine equation to one in 13 unknowns», Acta Arithmetica , 1975, est peut-être le résultat le plus spectaculaire), elle s’attacha à établir des raffinements quantitatifs tels que: Il existe un polynôme à n + 3 variables (à coefficients entiers) U(x ⁰, ..., x^{n+ 2}) tel que: face=F0019 說z ⁰ ... 說 zⁿ U(a , h , z ⁰, ..., zⁿ ) = 0 兩 a 捻 D^h , où D^h est la liste des ensembles récursivement énumérables, avec n + 1 諒 13.

De ce résultat négatif aux résultats positifs de Baker, il y a un gouffre immense et on a conjecturé que l’on peut prendre n = 2.

Le troisième domaine de prédilection de Julia Robinson fut la théorie des fonctions récursives. Son travail le plus accompli dans ce domaine est sans doute celui qui fut publié en 1968 dans les Proceedings of the American Mathematical Society («Recursive Fonctions of one variable») où elle donne une caractérisation extrêmement élégante et algébrique des fonctions récursives à une variable en montrant que toute fonction de ce type est obtenue à partir de la fonction nulle et de la fonction successeur par composition (itérée) et récurrence générale (à partir de fonctions précédemment définies). Un corollaire immédiat est que le problème des mots pour les monoïdes est indécidable, résultat bien connu depuis Post. On peut également obtenir par cette voie les résultats de Kreisel-Tait (Zeitschrift für Math. Logik , 1961). On peut aujourd’hui donner des preuves directes et courtes du théorème de Matijasevi face="EU Caron" カ qui évitent le recours à l’article de Davis-Putnam-Robinson. C’est une situation fréquente en mathématiques. Il n’en demeure pas moins que les idées de Julia Robinson jouèrent un rôle décisif dans la solution et qu’elle en fut très proche. Son rôle en ce domaine et sa preuve de l’indécidabilité de la théorie du corps des rationnels ne seront pas oubliés.

Encyclopédie Universelle. 2012.